โครงสร้างข้อมูลแบบทรี

โครงสร้างข้อมูลแบบทรี

เรื่อง Tree

เนื้อหา

- โครงสร้างข้อมูลแบบทรี

- นิยามของทรี

- นิยามที่เกี่ยวข้องกับทรี

- การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก

- การแปลงทรีทั่วไปให้เป็นไบนารีทรี

- การท่องไปในทรี

- เอกซเพรสชั่นทรี

- ไบนารีเซิร์ชทรี

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. เพื่อให้นักศึกษาทราบโครงสร้างข้อมูลแบบทรี

2. เพื่อให้ทราบนิยามของทรี และที่เกี่ยวข้อง

3. เพื่อให้นักศึกษาทราบวิธีการแทนที่ทรีใน หน่วยความจำหลัก

4. เพื่อให้นักศึกษาทราบการแปลงทรีให้เป็นไบ นารีทรี

5. เพื่อให้นักศึกษาทราบวิธีการท่องไปในทรี

6. เพื่อให้นักศึกษาทราบกระบวนการเอกซเพรสชั่นทรี

7. เพื่อให้นักศึกษาทราบวิธีการไบนารีเซิร์ซทรี

ทรี (Tree)ป็นโครงสร้างข้อมูลที่ความสัมพันธ์ ระหว่าง โหนดจะมัความสัมพันธ์ลดหลั่นกันเป็นลำดับ เช่น (Hierarchical Relationship) ได้มีการนำรูปแบบทรีไปประยุกต์ใช้ในงาน ต่าง ๆ อย่างแพร่หลาย สวนมากจะใชสำหรับแสดง ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล เช่น แผนผังองค์ประกอบของหน่วยงานต่าง ๆ โครงสร้างสารบัญหนังสือ เป็นต้นแต่ละโหนดจะมีความสัมพันธ์กับ โหนดในระดับที่ต่ำลงมา หนึ่งระดับได้หลาย ๆโหนด เรียกโหนดดั้งกล่าวว่า โหนดแม่(Parent orMother Node)โหนดที่อยู่ต่ำกว่าโหนดแม่อยู่หนึ่งระดับเรียกว่า โหนดลูก (Child or Son Node)โหนดที่อยู่ในระดับสูงสุดและไม่มีโหนดแม่เรียกว่า โหดราก (Root Node) Data Structure โหนดที่มีโหนดแม่เป็นโหนดเดียวกัน รียกว่า โหนดพี่น้อง (Siblings)โหนดที่ไม่มีโหนดลูก เรียกว่า โหนดใบ (Leave Node)เส้นเชื่อมแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง โหนดสองโหนดเรียกว่า กิ่ง (Branch)

               

นิยามของทรี1. นิยามทรีด้วยนิยามของกราฟ ทรี คือ กราฟที่ต่อเนื่องโดยไม่มีวงจรปิด (loop)ในโครงสร้าง โหนดสองโหนด ใดๆในทรีต้องมีทางตัดต่อกันทางเดียวเท่านั้น และทรีที่มี N โหนด ต้องมีกิ่ง ทั้งหมด N-1 เส้น การเขียนรูปแบบทรี อาจเขียนได้ 4

              

             

2. นิยามทรีด้วยรูปแบบรีเคอร์ซีฟทรีประกอบด้วยสมาชิกที่เรียกว่าโหนด โดยที่ ถ้าว่าง ไม่มีโหนดใด ๆ เรียกว่า นัลทรี (Null Tree)และถามโหนดหนึ่งเป็นโหดราก ส่วนที่เหลือจะแบ่งเป็น ทรีย่อย (Sub Tree)T1, T2, T3,…,Tk โดยที่ k>=0 และทรีย่อยต้องมีคุณสมบัติเป็นทรี

นิยามที่เกี่ยวข้องกับทรี1.ฟอร์เรสต์ (Forest) หมายถึง กลุ่มของทรีที่เกิดจากการเอาโหนดรากของทรีออกหรือเซตของทรีทแยกจากกัน (Disjoint Trees  

3.ทรีคล้าย (Similar Tree) คือทรีที่มีโครงสร้างเหมือนกันหรือทรีที่มีรูปร่างของทรีเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงข้อมูลที่อยู่ในแต่ละโหนด

4.ทรีเหมือน (Equivalent Tree) คือ ทรีที่เหมือนกันโดยสมบูรณ์โดยต้องเป็นทรีที่คล้ายกันและแต่ละโหนดในตำแหน่งเดียวกันมีข้อมูลเหมือนกัน

5.กำลัง (Degree) หมายถึงจำนวนทรีย่อยของโหนด นั้น ๆ เช่น

การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก
การแทนที่โครงสร้างข้อมูลแบบทรีในความจำหลักจะมีพอยเตอร์เชื่อมโยงจากโหนดแม่ไปยังโหนดลูก แต่ละโหนดต้องมีลิงค์ฟิลด์เพื่อเก็บที่อยู่ของโหนดลูกต่าง ๆ นั้นคือจำนวน ลิงคฟิลด์ของแต่ละโหนดขึ้นอยู่กับจำนวนของโหนดลูกการแทนที่ทรี ซึ่งแต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์ไม่เท่ากันทำให้ยากต่อการปฏิบัติการ วิธีการแทนที่ที่ง่ายที่สุดคือ ทำให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงคฟิลด์เท่ากันโดยอาจใช่วิธีการต่อไปนี้

1.โหนดแต่ละโหนดเก็บพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ทุกโหนด การแทนที่ทรีด้วยวิธีนี้จะให้จำนวนฟิลด์ในแต่ละ โหนดเท่ากันโดยกำหนดใหม่ขนาดเท่ากับจำนวนโหนดลูกของโหนดที่มีลูกมากที่สุด โหนดใดไม่มีโหลดลูกก็ให้ค่า พอยเตอร์ในลิงค์ฟิลด์นั้นมีค่าเป็น Null และให้ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนด ลูกลำดับ ที่หนึ่ง ลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ลำดับที่สองและลิงค์ฟิลด์อื่นเก็บค่าพอยเตอร์ของโหนดลูก ลำดับถัดไปเรื่อย ๆ

การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก
การแทนที่โครงสร้างข้อมูลแบบทรีในความจำหลักจะมีพอยเตอร์เชื่อมโยงจากโหนดแม่ไปยังโหนดลูก แต่ละโหนดต้องมีลิงค์ฟิลด์เพื่อเก็บที่อยู่ของโหนดลูกต่าง ๆ นั้นคือจำนวน ลิงคฟิลด์ของแต่ละโหนดขึ้นอยู่กับจำนวนของโหนดลูกการแทนที่ทรี ซึ่งแต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์ไม่เท่ากันทำให้ยากต่อการปฏิบัติการ วิธีการแทนที่ที่ง่ายที่สุดคือ ทำให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงคฟิลด์เท่ากันโดยอาจใช่วิธีการต่อไปนี้

1.โหนดแต่ละโหนดเก็บพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ทุกโหนด การแทนที่ทรีด้วยวิธีนี้จะให้จำนวนฟิลด์ในแต่ละ โหนดเท่ากันโดยกำหนดใหม่ขนาดเท่ากับจำนวนโหนดลูกของโหนดที่มีลูกมากที่สุด โหนดใดไม่มีโหลดลูกก็ให้ค่า พอยเตอร์ในลิงค์ฟิลด์นั้นมีค่าเป็น Null และให้ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนด ลูกลำดับ ที่หนึ่ง ลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ลำดับที่สองและลิงค์ฟิลด์อื่นเก็บค่าพอยเตอร์ของโหนดลูก ลำดับถัดไปเรื่อย ๆ

การแทนทรีด้วยโหนดขนาดเท่ากันค่อนข้างใช้เนื้อที่จำนวนมากเนื่องจากแต่ละโหนดมี จำนวนโหนดลูกไม่เท่ากันหรือบางโหนดไม่มี โหนดลูกเลยถ้าเป็นทรีที่แต่ละโหนดมีจำนวนโหนดลูกที่แตกต่างกันมากจะเป็นการสิ้นเปลือง เนื้อที่ในหน่วยความจำโดยเปล่าประโยชน์
2.แทนทรีด้วยไบนารีทรีเป็นวิธีแก้ปัญหาเพื่อลดการ สิ้นเปลืองเนื้อที่ในหน่วยความจำก็คือ กำหนดลิงค์ฟิลด์ใหม่จำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จำเป็นเท่านั้นโดยกำหนดให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์สองลิงค์ฟิลด์-ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บที่อยู่ของโหนดลูกคนโต-ลิงค์ฟิลด์ทสองเก็บที่อยู่ของโหนดพี่น้องที่เป็นโหนดถัดไปโหนดใดไม่มีโหนดลูกหรือไม่มีโหนดพี่น้องให้ค่าพอยนเตอร์ใน ลิงค์ฟิลด์มีค่าเป็น Null

โครงสร้างทรีที่แต่ละโหนดมีลิงค์ฟิลด์แค่สองลิงค์ฟิลด์ ซึ่งช่วยให้ประหยัดเนื้อที่ในการจัดเก็บได้มาก เรียกโครงสร้างทรีที่แต่ละโหนดมีจำนวนโหนดลูกไม่เกินสองหรือแต่ละโหนดมีจำนวน ทรีย่อยไม่เกินสองนี้ว่า ไบนารีทรี (Binary Tree)

ไบนารีทรีที่ทุก ๆ โหนดมีทรีย่อยทางซ้ายและทรีย่อยทางขวา ยกเว้นโหนดใบ และโหนดใบทุกโหนดจะต้องอยู่ที่ระดับเดียวกันเรียกว่า ไบนารีทรีแบบสมบูรณ์ (complete binary tree)สามารถคำนวณจำนวนโหนดทั้งหมดในไบนารีทรีแบบสมบูรณ์ได้ถ้ากำหนดให้ Lคือระดับของโหนดใด ๆ และ N คือจำนวนโหนดทั้งหมดในทรีจะได้ว่า

ระดับ 1 มีจำนวนโหนด 1 โหนด
ระดับ 2 มีจำนวนโหนด 3 โหนด
ระดับ 3 มีจำนวนโหนด 7 โหนด
ระดับ L มีจำนวนโหนด 2L - 1โหนด
นั้นคือ จำนวนโหนดทั้งหมดในทรีสมบูรณ์ที่ มี L ระดับ สามารถคำนวณได้จากสูตรดั้งนี้

การแปลงทรีทั่วไปให้เป็นไบนารีทรี
ขั้นตอนการแปลงทรีทั่วๆ ไปให้เป็นไบนารีทรี มีลำดับขั้นตอนการแปลง ดั้งต่อไปนี้
1. ให้โหนดแม่ชี้ไปยังโหนดลูกคนโต แล้วลบความสัมพันธ์ ระหว่างโหนดแม่และโหนดลูกอื่น ๆ
2. ให้เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างโหนดพี่น้อง
3. จบให้ทรีย่อยทางขวาเอียงลงมา 45 องศา

แบบฝึกหัด

1.โครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้เป็นโครงสร้างชนิดใด

  ก. ชนิดเชิงเส้น

  ข. ชนิดไม่เชิงเส้น

  ค. ชนิดตัดสินใจเลือก

  ง. ชนิดทำงานซ้ำ

2. โหนดพิเศษโหนดหนึ่งที่อยู่บนสุดแรกเรียกว่าอะไร

  ก. Father

  ข. Subtree

  ค. Leat Node

  ง. Root Node

3. Level มีความหมายตรงกับข้อใด

  ก. รูท

  ข. ดีกรีของโหนด

  ค. โหนดที่เป็นใบ

  ง. ระดับของโหนด

4. ดีกรีของโหนดคืออะไร

 ก. รูทโหนด

  ข. จำนวนต้นไม้ 1 ต้น

  ค. ต้นไม้แบบพรีออเดอร์

  ง. จำนวนต้นไม้ย่อยของโหนดนั้น

5. ป่าไม้ในโครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้ หมายถึงสิ่งใด

  ก. กลุ่มของต้นไม้

  ข. ต้นไม้ย่อยซ้าย

  ค. ต้นไม้ย่อยขวา

  ง. การดูแลต้นไม้6. โครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้ มีลักษณะคล้ายสิ่งใด

  ก. ใบไม้

  ข. รากของต้นไม้

  ค. ลำต้นของต้นไม้

  ง. กิ่งก้านของต้นไม้

7. ต้นไม้ธรรมชาติจะงอกจากล่างขึ้นบน ส่วนโครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้นั้นจะเจริญเติบโตอย่างไร

  ก.จากล่างไปบน

  ข. จากบนลงล่าง

  ค. จากซ้ายไปขวา

  ง. จากขวาไปซ้าย

8. ต้นไม้ Binary ที่แต่ละโหนดภายในจะมีโหนดย่อยซ้ายโหนดย่อยขวาและโหนดใบหมายถึงต้นไม้แบบใด

  ก. ต้นไม้ไบนารีคู่

  ข. ต้นไม้ไบนารีเดี่ยว

  ค. ต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์

  ง. ต้นไม้ไบนารีแบบไม่สมบูรณ์

9. ข้อใดไม่ใช่การแทนต้นไม้ไบนารีในหน่วยความจำ

  ก. การแทนโดยอาศัยพอยน์เตอร์

  ข การแทนโดยอาศัยแอดเดรสของโหนด

  ค. การแทนแบบวีแควนเชียล

  ง. การแทนแบบลำดับชั้น

10. LVR คือวิธีการเดินเข้าแบบใด

  ก. แบบพรีออร์เดอร์

  ข. แบบอินออร์เดอร์

  ค. แบบโพสต์ออร์เดอร์

  ง. ไม่มีข้อใดถูก

เฉลย

1.  ง. Root Node

2.  ง. Root Node

3.  ง. ระดับของโหนด

4.  ง. จำนวนต้นไม้ย่อยของโหนดนั้น

5. ก. กลุ่มของต้นไม้

6 .ง. กิ่งก้านของต้นไม้

7.  ข. จากบนลงล่าง

8.  ค. ต้ไนม้ไบนารีแบบสมบูรณ์

9.  ง. การแทนแบบลำดับชั้น

10. ข. แบบอินออร์เดอร์